Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.

Таблица 9.6

Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y :

Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:

Для вычисления ковариации К (X,Y ) используем аналогичную формулу через начальный момент:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством:

9.2. Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.

Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.

Множество значений .

Х =1 – сигнал принят первой радиостанцией;

Х =0 – сигнал не принят первой радиостанцией.

Множество значений .

Y =l – сигнал принят второй радиостанцией,

Y =0 – сигнал не принят второй радиостанцией.

Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:

Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:

Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, равна: .

Тогда закон распределения двумерной случайной величины равен:

х ,y ) значение F (х ,y )равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X ,Y ), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.

Тогда функция распределения будет иметь вид:

9.3. Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.

Ответ: Закон распределения:

При каждом фиксированном значении точки с координатами (x ,y ) значение равно сумме вероятностей тех возможных значений , которые попадают внутрь указанного прямоугольника .

9.4. На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X )и диаметр отверстия (случайная величина Y ). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X ,Y ); одномерные распределения составляющих Х и Y ;математические ожидания составляющих X и Y ; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х ,Y ).

Ответ: Закон распределения:

; ; ; ; ; .

9.5. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.

9.6. Случайная величина (X ,Y )распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R , вершины которого имеют координаты (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность распределения случайной величины (X ,Y )и условные плотности распределения р (х \у ), р (у \х ).

Решение. Построим на плоскости x 0y заданный квадрат (рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: Подставив координаты вершин А и В получим последовательно уравнение стороны АВ : или .

Аналогично находим уравнение стороны ВС : ;стороны CD : и стороны DA : . : .D X , Y ) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R .Найти плотность распределения вероятностей.

Ответ:

9.10. Задана дискретная двумерная случайная величина:

Найти: а) условный закон распределения X , при условии, что у= 10;

б) условный закон распределения Y , при условии, что x =10;

в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.

9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (X ,Y )равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О (0;0), А (0;8), В (8,0).

Найти: а) плотность распределения вероятностей;

Определение 2.7. это пара случайных чисел (X, Y), или точка на координатной плоскости (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Двумерная случайная величина - это частный случай многомерной случайной величины, или случайного вектора.

Определение 2.8. Случайный вектор - это случайная функция?,(/) с конечным множеством возможных значений аргумента t, значение которой при любом значении t является случайной величиной.

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее координаты непрерывны, и дискретной, если ее координаты дискретны.

Задать закон распределения двумерных случайных величин - это значит установить соответствие между ее возможными значениями и вероятностью этих значений. По способам задания случайные величины делятся на непрерывные и дискретные, хотя есть общие способы задания закона распределения любой СВ.

Дискретная двумерная случайная величина

Дискретная двумерная случайная величина задается с помощью таблицы распределений (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Таблица распределения (совместное распределение) СВ (X , У)

Элементы таблицы определяются формулой

Свойства элементов таблицы распределения:

Распределение по каждой координате называется одномерным или маргинальным:

р 1> = Р(Х = .г,) - маргинальное распределение СВ X ;

р^ 2) = P(Y= у,) - маргинальное распределение СВ У.

Связь совместного распределения СВ X и У, заданного множеством вероятностей [р {) }, i = 1,..., n,j = 1,..., т (таблицей распределения), и маргинального распределения.

Аналогично для СВ Ур- 2) = X р, г

Задача 2.14. Дано:

Непрерывная двумерная случайная величина

/(х, y)dxdy - элемент вероятности для двумерной случайной величины (X, У) - вероятность попадания случайной величины (X, У) в прямоугольник со сторонами cbc, dy при dx, dy -* 0:

f(x, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (X, У). Заданием /(х, у) мы даем полную информацию о распределении двумерной случайной величины.

Маргинальные распределения задаются следующим образом: по X - плотностью распределения СВ X/,(х); по Y - плотностью распределения СВ Уf>(y).

Задание закона распределения двумерной случайной величины функцией распределения

Универсальным способом задания закона распределения для дискретной или непрерывной двумерной случайной величины является функция распределения F(x, у).

Определение 2.9. Функция распределения F(x, у) - вероятность совместного появления событий {Ху}, т.е. F(x 0 ,y n) = = Р(Х у), брошенной на координатную плоскость, попасть в бесконечный квадрант с вершиной в точке М(х 0 , у и) (в заштрихованную на рис. 2.12 область).

Рис. 2.12. Иллюстрация функции распределения F(х, у)

Свойства функции F(x, у)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo, -оо) = F(x, -оо) = F(-oo, у) = 0; F(оо, оо) = 1;
• 3) F(x, у) - неубывающая по каждому аргументу;
• 4) F(x, у) - непрерывна слева и снизу;
• 5) согласованность распределений:

F(x, X: F(x, оо) = F,(x); F(y, оо) - маргинальное распределение по Y F(оо, у) = F 2 (y). Связь /(х, у) с F(x, у):

Связь совместной плотности с маргинальной. Дана f(x, у). Получим маргинальные плотности распределения f(x),f 2 {y)".

Случай независимых координат двумерной случайной величины

Определение 2.10. СВ X и Yнезависимы (нз), если независимы любые события, связанные с каждой из этих СВ. Из определения нз СВ следует:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Оказывается, что для независимых СВ X и Y выполнено и

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Докажем, что для независимых СВ X и Y 2) 3). Доказательство, а) Пусть выполнено 2), т.е.

в то же время F(x,y) = f J f(u,v)dudv, откуда и следует 3);

б) пусть теперь выполнено 3), тогда

т.е. верно 2).

Рассмотрим задачи.

Задача 2.15. Распределение задано следующей таблицей:

Строим маргинальные распределения:

Получаем Р(Х = 3, У = 4) = 0,17 * Р(Х = 3)Р(У = 4) = 0,1485 => => СВ X и Узависимы.

Функция распределения:

Задача 2.16. Распределение задано следующей таблицей:

Получаем P tl = 0,2 0,3 = 0,06; Р 12 = 0,2 ? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => СВ X и Y нз.

Задача 2.17. Дана /(х, у) = 1/я ехр| -0,5(д" + 2ху + 5г/ 2)]. Найти А(х) и /Ау)-

Решение

(досчитайте самостоятельно).

Довольно часто при изучении случайных величин приходится иметь дело с двумя, тремя и даже большим числом случайных величин. Например, двумерной случайной величиной $\left(X,\ Y\right)$ будет описываться точка попадания снаряда, где случайные величины $X,\ Y$ абсцисса и ордината соответственно. Успеваемость наудачу взятого студента в период сессии характеризуется $n$-мерной случайной величиной $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, где случайные величины $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n$ - это оценки, проставленные в зачетной книжке по различным дисциплинам.

Набор $n$ случайных величин $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ называется случайным вектором . Мы ограничимся рассмотрением случая $\left(X,\ Y\right)$.

Пусть $X$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$, а $Y$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $y_1,y_2,\ \dots ,\ y_n$.

Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x_i,\ y_j\right)$ с вероятностями $p_{ij}=P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Здесь $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ - это условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x_i$.

Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, равна $p_i=\sum_j{p_{ij}}$. Вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$, равна $q_j=\sum_i{p_{ij}}$.

$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(Y=y_j\right)}}={{p_{ij}}\over {q_j}}.$$

$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(X=x_i\right)}}={{p_{ij}}\over {p_i}}.$$

Пример 1 . Задано распределение двумерной случайной величины:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$

Определим законы распределения случайных величин $X$ и $Y$. Найдем условные распределения случайной величины $X$ при условии $Y=2$ и случайной величины $Y$ при условии $X=0$.

Заполним следующую таблицу:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_{ij}/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых трех столбцов первых четырех строк взяты из условия. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $2$-й ($3$-й) строки укажем в $4$-м столбце $2$-й ($3$-й) строки. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $4$-й строки укажем в $4$-м столбце $4$-й строки.

Сумму чисел $2$-й, $3$-й и $4$-й строк $2$-го ($3$-го) столбца запишем в $5$-й строке $2$-го ($3$-го) столбца. Каждое число $2$-го столбца делим на $q_1=0,52$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в $5$-м столбце. Числа из $2$-го и $3$-го столбцов $3$-й строки делим на $p_2=0,41$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в последней строке.

Тогда закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end{array}$

Закон распределения случайной величины $Y$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end{array}$

Условное распределение случайной величины $X$ при условии $Y=2$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_{ij}/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end{array}$

Условное распределение случайной величины $Y$ при условии $X=0$ имеет следующий вид.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Имеем шесть карандашей, среди которых два красных. Раскладываем карандаши в две коробки. В первую кладут $2$ штуки, а во вторую тоже два. $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, a $Y$ - во второй. Написать закон распределения системы случайных величин $(X,\ Y)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, а дискретная случайная величина $Y$ - количество красных карандашей во второй коробке. Возможные значения случайных величин $X,\ Y$ соответственно $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x,\ y\right)$ с вероятностями $P=P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, где $P\left(Y=y|X=x\right)$ - условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x$. Изобразим соответствие между значениями $\left(x,\ y\right)$ и вероятностями $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ в виде следующей таблицы.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & {{1}\over {15}} & {{4}\over {15}} & {{1}\over {15}} \\
\hline
1 & {{4}\over {15}} & {{4}\over {15}} & 0 \\
\hline
2 & {{1}\over {15}} & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}$

По строкам такой таблицы указываются значения $X$, а по столбцам значения $Y$, тогда вероятности $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ указываются на пересечении соответствующей строки и столбца. Рассчитаем вероятности, используя классическое определение вероятности и теорему произведения вероятностей зависимых событий.

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_2\cdot C^1_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{2\cdot 2}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_1\cdot C^1_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{1\cdot 3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$

$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_2}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_4}\over {C^2_4}}={{1}\over {15}}\cdot 1={{1}\over {15}}.$$

Поскольку в законе распределения (полученной таблице) все множество событий образует полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1. Проверим это:

$$\sum_{i,\ j}{p_{ij}}={{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}=1.$$

Функция распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины $\left(X,\ Y\right)$ называется функция $F\left(x,\ y\right)$, которая для любых действительных чисел $x$ и $y$ равна вероятности совместного выполнения двух событий $\left\{X < x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$F\left(x,\ y\right)=P\left\{X < x,\ Y < y\right\}.$$

Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения находится путем суммирования всех вероятностей $p_{ij}$, для которых $x_i < x,\ y_j < y$, то есть

$$F\left(x,\ y\right)=\sum_{x_i < x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1 . Функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ является ограниченной, то есть $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.

2 . $F\left(x,\ y\right)$ не убывающая для каждого из своих аргументов при фиксированном другом, то есть $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\right)$ при $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ при $y_2>y_1$.

3 . Если хотя бы один из аргументов принимает значение $-\infty $, то функция распределения будет равна нулю, то есть $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ -\infty \right),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.

4 . Если оба аргумента принимают значение $+\infty $, то функция распределения будет равна $1$, то есть $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.

5 . В том случае, когда ровно один из аргументов принимает значение $+\infty $, функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, то есть $F\left(x,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left(y\right)=F_Y\left(y\right)$.

6 . $F\left(x,\ y\right)$ является непрерывной слева для каждого из своих аргументов, то есть

$${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x_0,\ y\right),\ {\mathop{lim}_{y\to y_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x,\ y_0\right).$$

Пример 3 . Пусть дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ задана рядом распределения.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & {{1}\over {6}} & {{2}\over {6}} \\
\hline
1 & {{2}\over {6}} & {{1}\over {6}} \\
\hline
\end{array}$

Тогда функция распределения:

$F(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ при\ x\le 0,\ 0 < y\le 1 \\
0,\ при\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ при\ 0 < x\le 1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}},\ при\ 0 < x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ 0 < x\le 1,\ y>1 \\
0,\ при\ x>1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ x>1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{1}\over {6}}=1,\ при\ x>1,\ y>1 \\
\end{matrix}\right.$

Главная » Монтаж кровли » Условные характеристики составляющих двумерной случайной величины. Двумерные случайные величины