События вероятности закон больших чисел. Закон больших чисел в форме чебышева

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения:

1.Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единицы, т.е.: F(-∞)= , F(+∞)= .

4.Вероятность попадания случайной величины в интервал [х1,х2) (включая х1) равна прирощению ее функции распределения на этом интервале, т.е. Р(х 1 ≤ Х < х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Неравенство Маркова и Чебышева

Неравенство Маркова

Теорема : Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно равенство: P(x>A) ≤ .

Так как события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х >А) выражаем 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова: P(X ≥ A) ≥1 - .

Неравенство Маркова к применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

Неравенство Чебышева

Теорема: Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

Р (|Х – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 или Р (|Х – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2 ,где а= М(Х), ε>0.

Закон больших чисел « в форме» теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева: Если дисперсии n независимых случайных величин Х1, Х2,…. Хn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий а 1 ,а 2 ….,а n , т.е .

Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n → ∞ по вероятности. Отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от а сколь угодно мала с ростом n .

30. Теорема Бернулли .

Теорема Бернулли: Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходиться по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании: \

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, ибо частость события можно представить как среднюю арифметическую n независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения.

18.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины и их свойства .

Математическим ожиданием называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е М(кХ)=кМ(Х).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличиться (уменьшиться) математическое ожидание этой случайной величины: M(X±C)=M(X)±C.

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M=0.

Если явление устойчивости средних имеет место в действительности, то в математической модели, с помощью которой мы изучаем случайные явления, должна существовать отражающая этот факт теорема.
В условиях этой теоремы введем ограничения на случайные величины X 1 , X 2 , …, X n :

а) каждая случайная величина Х i имеет математическое ожидание

M (Х i ) = a ;

б) дисперсия каждой случайной величины конечна или, можно сказать, что дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом, например С , т. е.

D (Х i ) < C, i = 1, 2, …, n ;

в) случайные величины попарно независимы, т. е. любые две X i и X j при i ¹ j независимы.

Тогда, очевидно

D (X 1 + X 2 + … + X n )= D (X 1) + D (X 2) + ... + D (X n ).

Сформулируем закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема Чебышева: при неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию », т. е. для любого положительного ε

Р (| – а| < ε ) = 1. (4.1.1)

Смысл выражения «средняя арифметическая = сходится по вероятности к a» состоит в том, что вероятность того, что будет сколь угодно мало отличаться от a , неограниченно приближается к 1 с ростом числа n .

Доказательство. Для конечного числа n независимых испытаний применим неравенство Чебышева для случайной величины = :

Р (|– M ()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Учитывая ограничения а – в, вычислим M ( ) и D ( ):

M ( ) = = = = = = а ;

D ( ) = = = = = = .

Подставляя M ( ) и D ( ) в неравенство (4.1.2), получим

Р (| – а| < ε )≥1 – .

Если в неравенстве (4.1.2) взять сколь угодно малое ε >0и n ® ¥, то получим

что и доказывает теорему Чебышева.

Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод: неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом, чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( – а )не превзойдет заданную величину ε .

Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р (| – а| < ε )и максимальной допустимой ошибке ε определить необходимое число опытов n ; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события | – а | < ε.

Частный случай . Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M (X ) и дисперсию D (X ). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х 1 , Х 2 , Х 3 , ... , Х n ,. Это следует понимать так: серия из п испытаний проводится неоднократно, поэтому в результате i -го испытания, i = l, 2, 3, ..., п , в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X , не известное заранее. Следовательно, i -e значение x i случайной величины, полученное в i -м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение x i можно считать случайной величиной X i .

Предположим, что испытания удовлетворяют следующим требованиям:

1. Испытания независимы. Это означает, что результаты Х 1 , Х 2 ,
Х 3 , ..., Х n испытаний – независимые случайные величины.

2. Испытания проводятся в одинаковых условиях – это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х 1 , Х 2 , Х 3 , ... , Х n имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X , поэтому M (X i ) = M (X )и D (X i ) = D (X ), i = 1, 2, .... п.

Учитывая вышеуказанные условия, получим

Р (| – а| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Пример 4.1.1. X равна 4. Сколько требуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?

Решение .По условию задачи ε = 0,5; Р (| – а|< 0,5) ≥ 0,9. Применив формулу (4.1.3) для случайной величины Х , получим

P (|– M (X )| < ε ) ≥ 1 – .

Из соотношения

1 – = 0,9

определим

п = = = 160.

Ответ : требуется произвести 160 независимых опытов.

Если предположить, что средняя арифметическая распределена нормально, то получаем:

Р (| – а| < ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Откуда, воспользовавшись таблицей функции Лапласа, получим ≥
≥ 1,645, или ≥ 6,58, т. е. n ≥49.

Пример4.1.2. Дисперсия случайной величины Х равна D(Х ) = 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определить максимальную величину ошибки, допускаемую при этом с вероятностью не менее 0,8.

Решение. По условию задачи n = 100, Р (| – а| < ε ) ≥0,8. Применим формулу (4.1.3)

Р (| – а| < ε ) ≥1 – .

Из соотношения

1 – = 0,8

определим ε :

ε 2 = = = 0,25.

Следовательно, ε = 0,5.

Ответ : максимальная величина ошибки ε = 0,5.

4.2. Закон больших чисел в форме Бернулли

Хотя в основе любого статистического вывода лежит понятие вероятности, мы лишь в немногих случаях можем определить вероятность события непосредственно. Иногда эту вероятность можно установить из соображений симметрии, равной возможности и т.п., но универсального метода, который позволял бы для произвольного события указать его вероятность, не существует. Теорема Бернулли дает возможность приближенной оценки вероятности, если для интересующего нас события А можно проводить повторные независимые испытания. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна р.

Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота появления события А сходится по вероятности к вероятности p появления события А ,т. е.

P (½ - p ½≤ ε) = 1, (4.2.1)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Для конечного n при условии, что , неравенство Чебышева для случайной величины будет иметь вид:

P (| – p| < ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Доказательство. Применим теорему Чебышева. Пусть X i – число появлений события А в i -ом испытании, i = 1, 2, . . . , n . Каждая из величин X i может принять лишь два значения:

X i = 1 (событие А наступило) с вероятностью p ,

X i = 0 (событие А не наступило) с вероятностью q = 1– p .

Пусть Y n = . Сумма X 1 + X 2 + … + X n равна числу m появлений события А в n испытаниях (0 m n ), а, значит, Y n = – относительная частота появления события А в n испытаниях. Математическое ожидание и дисперсия X i равны соответственно:

M ( ) = 1∙p + 0∙q = p ,

Пример 4.2.1. С целью установления доли брака продукции было проверено по схеме возвратной выборки 1000 единиц. Какова вероятность того, что установленная этой выборкой доля брака по абсолютной величине будет отличаться от доли брака по всей партии не более чем на 0,01, если известно, что в среднем на каждые 10000 изделий приходится 500 бракованных?

Решение. По условию задачи число независимых испытаний n = 1000;

p = = 0,05; q = 1 – p = 0,95; ε = 0,01.

Применяя формулу (4.2.2), получим

P (| – p| < 0,01) ≥ 1 – = 1 – = 0,527.

Ответ : с вероятностью не менее 0,527 можно ожидать, что выборочная доля брака (относительная частота появления брака) будет отличаться от доли брака во всей продукции (от вероятности брака) не более чем на 0,01.

Пример 4.2.2. При штамповке деталей вероятность брака составляет 0,05. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности брака менее чем на 0,01?

Решение. По условию задачи р = 0,05; q = 0,95; ε = 0,01;

P (| – p| <0,01) ≥ 0,95.

Из равенства 1 – = 0,95 находим n :

n = = =9500.

Ответ : необходимо проверить 9500 деталей.

Замечание. Оценки необходимого числа наблюдений, получаемые при применении теоремы Бернулли (или Чебышева), очень преувеличены. Существуют более точные оценки, предложенные Бернштейном и Хинчиным, но требующие более сложного математического аппарата. Чтобы избежать преувеличения оценок, иногда пользуются формулой Лапласа

P (| – p| < ε ) ≈ 2Φ .

Недостатком этой формулы является отсутствие оценки допускаемой погрешности.

Часть 1 - ГЛАВА 9. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

9.1. Неравенство Чебышева

Примечания

9.2. Закон больших чисел в форме Чебышева

9.2. Закон больших чисел в форме Чебышева: дополнение

10. 9.3. Теорема Бернулли

11.

12. 9.4. Характеристические функции

13.

14.

15. 9.5. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)

16.

17. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

18. Эпиграф

19. Введение

20. Методы статистического анализа данных:

21. ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

22. 1.1. Генеральная совокупность и выборка

23.

24. Репрезентативная выборка:

25.

26. 1.2. Выборочный закон распределения (статистический ряд)

27.

28.

29.

30.

31. 1.3. Полигон частот, выборочная функция распределения

32.

33.

34.

35. 1.4. Свойства эмпирической функции распределения

36.

37. Пример

38. ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ

39.

40. 2.1. Выборочное среднее и выборочная дисперсия, эмпирические моменты

41.

42.

43.

44.

45.

46. 2.2. Свойства статистических оценок параметров распределения: несмещен-ность, эффективность, состоятельность

47.

48.

49.

50.

51. 2.3. Свойства выборочного среднего

52.

53.

54.

55.

56.

57. 2.4. Свойства выборочной дисперсии

58.

59.

60. Пример

61.

62. ГЛАВА 3. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИЗВЕСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

63.

64. 3.1. Метод моментов

65.

66.

67. Пример

68. Напоминание

69.

70.

71. 3.2. Метод наибольшего правдоподобия

72.

73.

74. Примечания:

75. Пример

76.

77. ГЛАВА 4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИЗВЕСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

78.

79.

80. 4.1. Оценивание математического ожидания нормально распределенной величины при известной дисперсии

81.

82.

83. 4.2. Оценивание математического ожидания нормально распределенной величины при неизвестной дисперсии

84.

85.

86. Плотность распределения Стьюдента c n – 1 степенями свободы

87.

88.

89.

90. 4.3. Оценивание среднего квадратического отклонения нормально распределенной величины

91. 4.3.1. Частный случай известного математического ожидания

92.

93.

94.

95.

96.

97. 4.3.2. Частный случай неизвестного математического ожидания

98.

99. 4.4. Оценивание математического ожидания случайной величины для произвольной выборки

100.

101.

102.

103.

104.

105. ГЛАВА 4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИЗВЕСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

106.

107.

108. 4.1. Оценивание математического ожидания нормально распределенной величины при известной дисперсии

109.

110.

111. 4.2. Оценивание математического ожидания нормально распределенной величины при неизвестной дисперсии

112.

113.

114. Плотность распределения Стьюдента c n – 1 степенями свободы

115.

116.

117.

118. 4.3. Оценивание среднего квадратического отклонения нормально распределенной величины

119. 4.3.1. Частный случай известного математического ожидания

120.

121.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Частный случай неизвестного математического ожидания

126.

127. 4.4. Оценивание математического ожидания случайной величины для произвольной выборки

128.

129.

130.

131. ГЛАВА 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

132.

133.

134.

135. 5.1. Проверка гипотез о параметрах известного распределения

136.

137.

145.

146.

147.

148. 5.1.3. Сравнение математических ожиданий независимых случайных величин

154.

155. 5.2.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении

162. 6.2. Распределение Стьюдента

Обнаруженный на большом и разнообразном материале феномен стабилизации частот появления случайных событий поначалу не имел какого-либо обоснования и воспринимался как чисто эмпирический факт. Первым теоретическим результатом в этой области стала опубликованная в 1713 г. знаменитая теорема Бернулли, положившая начало законам больших чисел.

Теорема Бернулли по своему содержанию является предельной теоремой, т. е. утверждением асимптотического смысла, говорящим, что будет с вероятностными параметрами при большом числе наблюдений. Прародительницей всех современных многочисленных утверждений такого типа является именно теорема Бернулли.

На сегодня представляется, что математический закон больших чисел является отражением некоторого общего свойства многих реальных процессов.

Имея желание придать закону больших чисел возможно больший охват, отвечающий далеко еще не исчерпанным потенциальным возможностям применения этого закона, один из крупнейших математиков нашего столетия А. Н. Колмогоров следующим образом сформулировал его суть: закон больших чисел - «общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая».

Таким образом, закон больших чисел имеет как бы две трактовки. Одна - математическая, связанная с конкретными математическими моделями, формулировками, теориями, и вторая - более общая, выходящая за эти рамки. Вторая трактовка связана с нередко отмечаемым на практике феноменом образования в той или иной степени направленного действия на фоне большого числа скрытых либо видимых действующих факторов, внешне такой непрерывности не имеющих. Примерами, связанными со второй трактовкой, является ценообразование на свободном рынке, формирование общественного мнения по тому или иному вопросу.

Отметив эту общую трактовку закона больших чисел, обратимся к конкретным математическим формулировкам этого закона.

Как мы уже сказали выше, первой и принципиально самой важной для теории вероятностей является теорема Бернулли. Содержание этого математического факта, отражающего одну из важнейших закономерностей окружающего мира, сводится к следующему.

Рассмотрим последовательность не связанных между собой (т. е. независимых) испытаний, условия проведения которых воспроизводятся неизменно от испытания к испытанию. Результатом каждого испытания является появление или непоявление интересующего нас события А.

Эту процедуру (схему Бернулли), очевидно, можно признать типичной для многих практических областей: «мальчик - девочка» в последовательности новорожденных, ежедневные метеорологические наблюдения («был дождь - не был»), контроль потока выпускаемых изделий («нормальное - дефектное») и т. д.

Частость появления события А при п испытаниях (т А -

частота появления события А в п испытаниях) имеет с ростом п тенденцию к стабилизации своего значения, это эмпирический факт.

Теорема Бернулли. Выберем любое сколь угодно малое положительное число е. Тогда

Подчеркнем, что математический факт, установленный Бернулли в определенной математической модели (в схеме Бернулли), не следует смешивать с эмпирически установленной закономерностью устойчивости частот. Бернулли не удовольствовался только утверждением формулы (9.1), но, учитывая потребности практики, дал оценку присутствующего в этой формуле неравенства. К такой трактовке мы еще обратимся ниже.

Закон больших чисел Бернулли был предметом исследований большого числа математиков, стремившихся уточнить его. Одно из таких уточнений было получено английским математиком Муавром и в настоящее время носит название теоремы Муавра - Лапласа. В схеме Бернулли рассмотрим последовательность нормированных величин:

Интегральная теорема Муавра - Лапласа. Выберем какие-либо два числа х { и х 2 . При этом х, х 7 , тогда при п -» °°

Если в правой части формулы (9.3) переменную х х устремить к бесконечности, то полученный предел, зависящий только от х 2 (индекс 2 при этом можно убрать), будет представлять собой функцию распределения, она называется стандартным нормальным распределением, или законом Гаусса.

Правая часть формулы (9.3) равна у = F(x 2) - F(x x). F(x 2) -> 1 при х 2 -> °° и F(x ,) -> 0 при х, -> За счет выбора достаточно большого

X] > 0 и достаточно большого по абсолютной величине X] п получим неравенство:

Принимая во внимание формулу (9.2), мы можем извлечь практически достоверные оценки:

Если достоверность у = 0,95 (т. е. вероятность ошибки 0,05) может показаться кому-то недостаточной, можно «перестраховаться» и построить немного более широкий доверительный интервал, используя упоминавшееся выше правило трех сигм:

Этому интервалу соответствует очень высокий уровень доверия у = 0,997 (см. таблицы нормального распределения).

Рассмотрим пример, состоящий в бросании монеты. Пусть мы бросили монету п = 100 раз. Может ли случиться, что частость р будет сильно отличаться от вероятности р = 0,5 (в предположении симметричности монеты), например будет равна нулю? Для этого надо, чтобы герб не выпал ни разу. Такое событие теоретически возможно, однако мы уже рассчитывали подобные вероятности, для данного события она окажется равной Эта величина

чрезвычайно мала, ее порядок - число с 30 нулями после запятой. Событие с такой вероятностью смело можно считать практически невозможным. Какие же отклонения частоты от вероятности при большом числе опытов практически возможны? Используя теорему Муавра - Лапласа, мы отвечаем на этот вопрос так: с вероятностью у = 0,95 частость герба р укладывается в доверительный интервал:

Если ошибка в 0,05 кажется не малой, надо увеличить число опытов (бросаний монеты). При увеличении п ширина доверительного интервала уменьшается (к сожалению, не так быстро, как нам хотелось бы, а обратно пропорционально -Jn). Например, при п = 10 000 получим, что р лежит в доверительном интервале с доверительной вероятностью у = 0,95: 0,5 ±0,01.

Таким образом, мы разобрались количественно в вопросе о приближении частости к вероятности.

Теперь найдем вероятность события по его частости и оценим ошибку этого приближения.

Пусть мы произвели большое число опытов п (бросали монету), нашли частость события А и хотим оценить его вероятность р.

Из закона больших чисел п следует, что:

Теперь оценим практически возможную ошибку приближенного равенства (9.7). Для этого воспользуемся неравенством (9.5) в форме:

Для нахождения р по р надо решить неравенство (9.8), для этого его надо возвести в квадрат и решить соответствующее квадратное уравнение. В результате получим:

где

Для приближенной оценки р по р можно в формуле (9.8) р справа заменить нар или же в формулах (9.10), (9.11) считать, что

Тогда получим:

Пусть в п = 400 опытах получено значение частости р = 0,25, тогда при уровне доверия у = 0,95 найдем:

А если нам нужно знать вероятность точнее, с ошибкой, скажем, не больше 0,01? Для этого надо увеличить число опытов.

Полагая в формуле (9.12) вероятность р = 0,25, приравняем величину ошибки заданной величине 0,01 и получим уравнение относительно п:

Решая это уравнение, получим п ~ 7500.

Рассмотрим теперь еще один вопрос: можно объяснить полученное в опытах отклонение частости от вероятности случайными причинами или же это отклонение показывает, что вероятность не такова, какой мы ее предполагали? Иными словами, подтверждает опыт принятую статистическую гипотезу или, наоборот, требует ее отклонить?

Пусть, например, бросив монету п = 800 раз, мы получим частость появления герба р = 0,52. У нас возникло подозрение, что монета несимметричная. Обоснованно ли такое подозрение? Чтобы ответить на этот вопрос, будем исходить из предположения, что монета симметричная (р = 0,5). Найдем доверительный интервал (при доверительной вероятности у = 0,95) для частости появления герба. Если полученное в опыте значение р = 0,52 укладывается в этот интервал - все в норме, принятая гипотеза о симметрии монеты не противоречит опытным данным. Формула (9.12) при р = 0,5 дает интервал 0,5 ± 0,035; полученное значение р = 0,52 укладывается в этот интервал, значит, придется «очистить» монету от подозрений в несимметрии.

Аналогичными методами пользуются для того, чтобы судить: случайны или «значимы» различные отклонения от математического ожидания, наблюдаемые в случайных явлениях. Например, случайно был получен недовес в нескольких образцах расфасованных товаров или он указывает на систематический обман покупателей? Случайно повысился процент выздоровлений у больных, применявших новый препарат, или это связано с действием препарата?

Нормальный закон играет особенно важную роль в теории вероятностей и ее практических приложениях. Выше мы уже видели, что случайная величина - число появлений некоторого события в схеме Бернулли - при п -» °° сводится к нормальному закону. Однако имеет место гораздо более общий результат.

Центральная предельная теорема. Сумма большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, сравнимых между собой по порядку своих дисперсий, распределена по нормальному закону независимо от того, каковы были законы распределения слагаемых. Приведенное утверждение - это грубая качественная формулировка центральной предельной теории. У этой теоремы много форм, различающихся между собой условиями, которым должны удовлетворять случайные величины, чтобы их сумма с увеличением числа слагаемых «нормализовалась».

Плотность нормального распределения Дх) выражается формулой:

где а - математическое ожидание случайной величины Х с = V7) - ее стандартное отклонение.

Для вычисления вероятности попадания х в пределы интервала (х 1? х 2) используется интеграл:

Так как интеграл (9.14) при плотности (9.13) не выражается через элементарные функции («не берется»), то для вычисления (9.14) пользуются таблицами интегральной функции распределения стандартного нормального распределения, когда а = 0, а = 1 (такие таблицы имеются в любом учебнике по теории вероятностей):

Вероятность (9.14) с помощью уравнения (10.15) выражается формулой:

Пример. Найти вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение с параметрами а , а, отклонится от своего математического ожидания по модулю не более чем на За.

Пользуясь формулой (9.16) и таблицей функции распределения нормального закона, получим:

Пример. В каждом из 700 независимых опытов событие А происходит с постоянной вероятностью р = 0,35. Найти вероятность того, что событие А произойдет:

• 1) точно 270 раз;
• 2) меньше чем 270 и больше чем 230 раз;
• 3) больше чем 270 раз.

Находим математическое ожидание а = пр и стандартное отклонение:

случайной величины - числа появлений события А:

Находим центрированное и нормированное значение X:

По таблицам плотности нормального распределения находим f(x):

Найдем теперь Р ш (х, > 270) = Р 700 (270 F(1,98) = = 1 - 0,97615 = 0,02385.

Серьезный шаг в исследованиях проблематики больших чисел был сделан в 1867 г. П. Л. Чебышевым. Он рассмотрел весьма общий случай, когда от независимых случайных величин не требуется ничего, кроме существования математических ожиданий и дисперсий.

Неравенство Чебышева. Для сколь угодно малого положительного числа е выполняется неравенство:

Теорема Чебышева. Если х х, х 2 , ..., х п - попарно независимые случайные величины, каждая из которых имеет математическое ожидание E(Xj) = ci и дисперсию D(x,) =), причем дисперсии равномерно ограничены, т. е. 1,2 ..., то для сколь угодного малого положительного числа е выполняется соотношение:

Следствие. Если а,= аио, -о 2 , i = 1,2 ..., то

Задача. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем у - 0,997, можно было утверждать, что частость выпадения герба будет находиться в интервале (0,499; 0,501)?

Предположим, что монета симметричная, р - q - 0,5. Применим теорему Чебышева в формуле (9.19) к случайной величине X - частоте появления герба в п бросаниях монеты. Выше мы уже показывали, что X = Х х + Х 2 + ... +Х„, где X t - случайная величина, принимающая значение 1, если выпал герб, и значение 0, если выпала решка. Итак:

Запишем неравенство (9.19) для события, противоположного событию, указанному под знаком вероятности:

В нашем случае [е = 0,001, cj 2 = /?-р)]т - число выпадений герба в п бросаниях. Подставляя эти величины в последнее неравенство и учитывая, что по условию задачи должно выполняться неравенство, получим:

Приведенный пример иллюстрирует возможность использования неравенства Чебышева для оценок вероятностей тех или иных уклонений случайных величин (а также связанных с вычислением этих вероятностей задач типа этого примера). Достоинством неравенства Чебышева является то, что оно не требует знания законов распределений случайных величин. Разумеется, если такой закон известен, то неравенство Чебышева дает слишком грубые оценки.

Рассмотрим этот же пример, но используя тот факт, что бросание монеты является частным случаем схемы Бернулли. Число успехов (в примере - число гербов) подчиняется биномиальному закону, а при большом п этот закон можно в силу интегральной теоремы Муавра - Лапласа представить нормальным законом с математическим ожиданием а = пр = п? 0,5 и со стандартным отклонением а = yfnpq - 25=0,5л/л. Случайная же величина - частость выпадения герба - имеет математическое ожидание = 0,5 и стандартное отклонение

Тогда имеем:

Из последнего неравенства получаем:

Из таблиц нормального распределения находим:

Видим, что нормальное приближение дает число бросаний монеты, обеспечивающее заданную погрешность в оценивании вероятности герба, в 37 раз меньшее в сравнении с оценкой, полученной с использованием неравенства Чебышева (но неравенство Чебышева дает возможность подобных расчетов и в том случае, когда мы не владеем информацией о законе распределения изучаемой случайной величины).

Рассмотрим теперь прикладную задачу, решаемую с помощью формулы (9.16).

Задача о конкуренции. Две конкурирующие железнодорожные компании имеют по одному поезду, курсирующему между Москвой и Санкт-Петербургом. Эти поезда оборудованы примерно одинаково, отправляются и прибывают также примерно в одно и то же время. Предположим, что п = 1000 пассажиров независимо и наугад выбирают себе поезд, поэтому в качестве математической модели выбора поезда пассажирами используем схему Бернулли с п испытаниями и вероятностью успехар = 0,5. Компания должна решить вопрос, сколько мест предусмотреть в поезде с учетом двух взаимно противоречивых условий: с одной стороны, не хочется иметь пустые места, с другой - не хочется, чтобы появились недовольные отсутствием мест (в следующий раз они предпочтут конкурирующие фирмы). Разумеется, можно предусмотреть в поезде п = 1000 мест, но тогда заведомо будут пустые места. Случайная величина - число пассажиров в поезде - в рамках принятой математической модели с использованием интегральной теории Муавра - Лапласа подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием а = пр = п /2 и дисперсией а 2 = npq = п/4 последовательно. Вероятность того, что на поезд придет более s пассажиров, определяется соотношением:

Зададим уровень риска а , т. е. вероятность того, что придет более s пассажиров:

Отсюда:

Если а - корень риска последнего уравнения, который находится по таблицам функции распределения нормального закона, то получаем:

Если, например, п = 1000, а = 0,01 (такой уровень риска означает, что число мест s будет достаточным в 99 случаях из 100), то х а ~ 2,33 и s = 537 мест. При этом если обе компании примут одинаковые уровни риска а = 0,01, то два поезда будут иметь в общей сложности 1074 места, 74 из которых будут пустыми. Аналогично можно вычислить, что 514 мест было бы достаточно в 80% всех случаев, а 549 мест - в 999 из 1000 случаев.

Подобные соображения применимы и в других задачах о конкурирующем обслуживании. Например, если т кинотеатров соперничают из-за одних и тех же п зрителей, то следует принять р = -. Получим,

что число мест s в кинотеатре должно определяться соотношением:

Общее число пустых мест при этом равно:

Для а = 0,01, п = 1000 и т = 2, 3, 4 значения этого числа приближенно равны соответственно 74, 126, 147.

Рассмотрим еще один пример. Пусть поезд состоит из п - 100 вагонов. Вес каждого вагона - случайная величина с математическим ожиданием а - 65 т и средним квадратическим ожиданием о = 9 т. Локомотив может везти поезд, если его вес не превышает 6600 т; в противном случае приходится подцеплять второй локомотив. Нужно найти вероятность того, что этого делать не придется.

весов отдельных вагонов: , имеющих одно и то же математическое ожидание а - 65 и одну и ту же дисперсию d - о 2 = 81. По правилу математических ожиданий: Е(х) - 100 * 65 = 6500. По правилу сложения дисперсий: D(x ) = 100 х 81= 8100. Извлекая корень, найдем среднее квадратическое отклонение. Для того чтобы один локомотив мог везти поезд, нужно, чтобы вес поезда X оказался предельным, т. е. попал в пределы интервала (0; 6600). Случайную величину х - сумму 100 слагаемых - можно считать распределенной нормально. По формуле (9.16) получим:

Отсюда следует, что локомотив «справится» с поездом приблизительно с вероятностью 0,864. Уменьшим теперь число вагонов в поезде на два, т. е. возьмем п = 98. Подсчитывая теперь вероятность того, что локомотив «справится» с поездом, получим величину порядка 0,99, т. е. практически достоверное событие, хотя для этого пришлось убрать всего два вагона.

Итак, если мы имеем дело с суммами большого числа случайных величин, то можно использовать нормальный закон. Естественно, при этом возникает вопрос: сколько нужно сложить случайных величин, чтобы закон распределения суммы уже «нормализовался»? Это зависит от того, каковы законы распределения слагаемых. Бывают такие замысловатые законы, что нормализация наступает только при очень большом числе слагаемых. Но эти законы придумывают математики, природа же, как правило, специально не устраивает таких неприятностей. Обычно на практике для того, чтобы можно было пользоваться нормальным законом, бывает достаточно пяти-шести слагаемых.

Быстроту, с которой «нормализуется» закон распределения суммы одинаково распределенных случайных величин, можно проиллюстрировать на примере случайных величин с равномерным распределением на интервале (0, 1). Кривая такого распределения имеет вид прямоугольника, что уже непохоже на нормальный закон. Сложим две такие независимые величины - получим случайную величину, распределенную по так называемому закону Симпсона, графическое изображение которого имеет вид равнобедренного треугольника. Тоже не похоже на нормальный закон, но уже лучше. А если сложить три такие равномерно распределенные случайные величины, получится кривая, состоящая из трех отрезков парабол, весьма похожая на нормальную кривую. Если же сложить шесть таких случайных величин, получится кривая, не отличающаяся от нормальной. На этом основан широко применяемый метод получения нормально распределенной случайной величины, датчиками же равномерно распределенных (0, 1) случайных чисел оснащены все современные ЭВМ.

В качестве одного из практических способов проверки этого рекомендуется следующий способ. Строим доверительный интервал для частоты события с уровнем у = 0,997 по правилу трех сигм:

и если оба его конца не выходят за рамки отрезка (0, 1), то можно пользоваться нормальным законом. Если же какая-нибудь из границ доверительного интервала оказывается за переделами отрезка (0, 1), то нормальным законом пользоваться нельзя. Однако в некоторых условиях биномиальный закон для частоты некоторого случайного события, если он не стремится к нормальному, то может стремиться к другому закону.

Во многих приложениях в качестве математической модели случайного опыта используется схема Бернулли, в которой число испытаний п велико, случайное событие довольно редко, т. е. р = пр не мало, но и не велико (колеблется в интервале О -5- 20). В этом случае имеет место предельное соотношение:

Формула (9.20) называется пуассоновским приближением для биномиального закона, так как вероятностное распределение в ее правой части называется законом Пуассона. Говорят, что пуассоновское распределение является вероятностным распределением для редких событий, так как оно имеет место, когда выполняются пределы: п -»°°, р -»0, но X = пр оо.

Пример. Дни рождения. Какова вероятность Р т (к) того, что в обществе из 500 человек к человек родились в день Нового года? Если эти 500 человек выбраны наугад, то можно применить схему Бернулли с вероятностью успеха Р = 1/365. Тогда

Расчеты вероятностей для различных к дают следующие величины: Р у = 0,3484...; Р 2 = 0,2388...; Р 3 = 0,1089...; Р 4 = 0,0372...; Р 5 = 0,0101...; Р 6 = 0,0023... Соответствующие приближения по формуле Пуассона при X = 500 1/365 = 1,37

дают следующие величины: Ру = 0,3481...; Р 2 = 0,2385...; Р ъ = 0,1089; Р 4 = 0,0373...; Р 5 = 0,0102...; Р 6 = 0,0023... Все ошибки лишь в четвертом десятичном знаке.

Приведем примеры ситуаций, где можно использовать закон редких событий Пуассона.

На телефонной станции неправильное соединение происходит с малой вероятностью р, обычно р ~ 0,005. Тогда формула Пуассона позволяет найти вероятность неправильных соединений при заданном общем числе соединений п ~ 1000, когда Х = пр =1000 0,005 = 5.

При выпечке булочек в тесто кладут изюм. Следует ожидать, что благодаря размешиванию частота булок с изюминками будет приблизительно подчиняться распределению Пуассона Р п (к, X), где X - плотность изюма в тесте.

Радиоактивное вещество испускает я-частицы. Событие, заключающееся в том, что число й-частиц, достигающих в течение времени t заданного участка пространства, принимает фиксированное значение к, подчиняется закону Пуассона.

Число живых клеток с измененными хромосомами под действием рентгеновских лучей следует распределению Пуассона.

Итак, законы больших чисел позволяют решать задачу математической статистики, связанную с оцениванием неизвестных вероятностей элементарных исходов случайного опыта. Благодаря этим знаниям мы делаем методы теории вероятностей практически содержательными и полезными. Законы больших чисел позволяют также решать задачу получения информации о неизвестных элементарных вероятностях и в другой форме - форме проверки статистических гипотез.

Рассмотрим более подробно формулировку и вероятностный механизм решения задач проверки статистических гипотез.

Главная » Печная труба » События вероятности закон больших чисел. Закон больших чисел в форме чебышева