Сообщение уравнение содержащие переменную под знаком модуля. Как решать уравнения с модулем

Тип урока: урок обобщения и систематизации учебного материала.

Форма урока: урок-практикум.

Класс: 11.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Тема: “Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля”

Цели:

1. Актуализировать знания: модуль числа и свойства модуля; совершенствовать умение при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применять методы: раскрытие модуля по определению; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки.
2. Развивать интеллектуально-логические умения и математические способности;
3. Воспитывать адаптивность к современным условиям обучения, воспитывать личность, интегрированную в современное общество.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Мотивация деятельности учащихся.

Сообщение целей и задач урока. Принятие учащимися целей урока.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Определение модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само это число, если х > 0 , и противоположное ему число –х , если х < 0 .

Модуль х обозначается |х|. Итак,

2. Основные свойства модуля. (Запишите основные свойства модуля).

Для любых действительных х и у :

|x| > 0.

-|x| < x < |x|.

|x·y| = |x|·|y|.

|x/y| = |x|/|y|, y 0.

При решении задач нужно помнить геометрический смысл модуля: |x-a| - это расстояние между точками х и а числовой оси. В частности, |x| - расстояние между точками х и 0 .

IV. Совершенствование практических умений применять известные методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Устная работа

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

1) раскрытие модуля по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Решите уравнения:

|x| = 3; |x – 5| = 1; |x + 2| = 7; |x – 3| = |x + 1|.

Обменяйтесь тетрадями.

Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком –.

Какой метод применяли при решении данных уравнений?

Алгоритм решения уравнения

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо:

1. Освободиться от знака модуля, используя его определение;
2. Найти критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
3. Разбить область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
4. На каждом из найденных промежутков решить уравнение без знака модуля.

Объединение решений указанных промежутков и составляет все решения данного уравнения.

Решить уравнения, используя алгоритм решения уравнения и свойства модуля.

Уравнение вида |f(x)| = g(x).

|x – 7| = x 3 – 15x 2 + x + 7.

Решение

По определению модуля

Уравнение |x – 7| = x 3 – 15x 2 + x + 7 равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:

Ответ: 0;

Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

|x 5 -6x 2 +9x-6| = |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6|.

Решение

|x 5 -6x 2 +9x-6| > 0 и |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6| > 0.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решив каждое из уравнений, получим:

х = 0; х = ± .

х = 1; х = 2; х = 3.

Ответ: 0; ± ; 1; 2; 3.

Найти сумму корней уравнения

|2x + 1| + |5 - 3x| + 1 - 4x = 0.

Решение

1. По определению модуля

2. Hайдём критические точки:

2х + 1 = 0; 5 - 3х = 0.

х = -?; х = 5/3.

3. Hули функции разбивают числовую ось на промежутки.

4. Решим уравнение на каждом из промежутков:

Уравнение, записанное без знака модуля на промежутках х, равносильно совокупности смешанных систем:

Ответ: ; 3.

Ученик может выбрать любой из трёх уровней примеров. Первый уровень оценивается оценкой “3”, второй “4”, третий “5”. Решение в тетрадях с последующим объяснением своего решения в группах. Наиболее сложные задания решаются у доски. Решения проверяются и записываются в тетрадях. Оставшиеся задания выполняются дома.

V. Самостоятельная работа.

Самостоятельная письменная работа по вариантам
на отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами

VI. Итог урока.

Определение модуля.

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Алгоритм решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

VII. Домашнее задание.

Решить три уравнения различного уровня.

Индивидуальные задания.

1. х 2 = | 2 - х| ;

2. | | 3х + 2| - 5х| = 14;

3. | 2 - | 3х - 1| | = х 2 + 1;

4. | 3х – 1| + | 2х - 4| = | х 2 - 1| + 4;

5. | х + 2| - | 3х - 4| + | 2х + 7| - = | х + 5|.

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, можно использовать три метода: раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод интервалов.

Первый способ основан на определении модуля. Напомним его:

Таким образом, решение уравнения вида распадается на решение совокупности уравнения при условии и уравнения при условии . Если в уравнении больше одного знака модуля, аналогичную процедуру повторяют для каждого модуля. Заметим также, что поскольку модуль – величина всегда неотрицательная, то для выражения должно выполняться условие .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим первый случай, когда . Тогда модуль в правой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть исходное уравнение принимает вид

Корнем последнего уравнения является . Поскольку , значение является корнем исходного уравнения. Теперь рассмотрим второй случай: . В этом случае модуль раскрывается со знаком «-» и уравнение принимает вид

Решение последнего уравнения - . Но, поскольку , то не является корнем исходного уравнения. Общий ответ является объединением ответов, полученных в первом и втором случаях.

Второй способ основан на следующем свойстве модуля: . Он состоит в возведение обеих частей уравнения в квадрат. То есть, чтобы решить уравнение надо решить равносильное ему уравнение . Заметим, что данный метод наиболее эффективен для решения уравнений вида , которые после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводятся к виду . Напомним также, что возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием только если обе части уравнения неотрицательны.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Решив полученное квадратное уравнение, находим , .

Ответ.1/4; -3/2.

Для решения уравнений, содержащих несколько знаков модуля, наиболее эффективен метод интервалов (или метод разбиения на промежутки). Для применения метода интервалов числовую ось разбивают на промежутки так, чтобы модуль любого из выражений в уравнении раскрывался одинаково для всех значений из данного промежутки. Нетрудно заметить, что точками, разбивающими ось на данные промежутки, будут значения , обращающие в ноль каждое из выражений под знаком модуля. После разбиения находят знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков. Затем для каждого промежутка решают получившееся послу раскрытия модулей уравнение и проверяют корни на принадлежность рассматриваемому промежутку. Решение уравнения является объединения корней, полученных для каждого из промежутков.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Расставим на числовой оси точки и , в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Таким образом, мы разбили числовую ось на три промежутка: , и . В первом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «-», во втором – первый модуль со знаком «+», второй – «-», в третьем – оба со знаком «+». Рассмотрим эти промежутки по отдельности.

На промежутке получаем уравнение , откуда . Поскольку принадлежит промежутку , он является корнем исходного уравнения.

На промежутке получаем . Корень данного уравнения не принадлежит рассматриваемому промежутку и, значит, не является корнем исходного уравнения.

На промежутке имеем уравнение . Его корень н принадлежит и, значит, не является корнем исходного уравнения. Окончательный ответ является объединением полученных решений.

Ответ: -4/5.

Системы уравнений

:обобщение и систематизация знаний учащихся по теме: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”, ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся, установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса математики;

Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.

Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

Ход урока

I. Организационный момент.

(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)

– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.

II. Постановка цели.

– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.

– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.

III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:

– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1

– Выполним устно задания теста. Приложение 2

– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.

IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:

1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.

Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х 1 = 0, х 2,3 = + 5.

Ответ: -5;0;5.

2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?

Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.

3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.

Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;

2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.

Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.

V. Физкультминутка.

4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:

Ответ: 1, √3.

5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.

Решение . Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:

Ответ: + 2, (-1+ √5)/2.

6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0

Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.

VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:

7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.

Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.

Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);

Ответ: 2, -√5.

8. Пример: Решите уравнение:

Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.

VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:

9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

x 2 -5│х│+ 1= 0.

Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t 1 и t 2 (так как D>0). Очевидно, что корни t 1 и t 2 – положительны (t 1 + t 2 >0, t 1 * t 2 >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений

имеет четыре корня: + t 1 , + t 2 . Их сумма квадратов t 1 2 + (-t 1) 2 + t 2 2 + (-t 2) 2 = 2(t 1 2 +t 2 2). Так как t 1 2 +t 2 2 = (t 1 +t 2) 2 – 2 t 1 t 2 = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.

10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.

Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;

при а = – 3 – один корень; при а < – 3 – корней нет.

Рассмотрим уравнение │х – 2│= а + 1. При а = – 1 оно имеет один корень, при а > – 1 – два корня. При а < – 1 корней нет. Очевидно, что при а = – 1 исходное уравнение имеет три корня. При а > – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х 0 = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.

Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.

Ответ: а = – 1.

VIII. Пауза отдыха:

– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

IX. Выполнение упражнений:

11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.

Решение . Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.

После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.

Ответ : 14 или 41.

X. Подведение итогов.

– Сегодня на уроке мы:

1) повторили определение квадратного уравнения;

2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;

3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;

4) повторили определение модуля и параметра;

5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;

6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;

7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;

8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.

– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;

– за индивидуальную работу у доски;

– за работу по карточкам;

– за самостоятельную работу.

XI. Домашнее задание и его инструктаж:

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4

XII. Рефлексия.

(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)

Список литературы

Комсомольская ОШ №5 І – ІІІ ступеней

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

АННОТАЦИЯ

Решение уравнений с модулем вызывает у учащихся затруднения.

Анализируя задания вступительных экзаменов, необходимо отметить, что очень часто предлагаются задания с модулями. Чтобы помочь учащимся научиться решать уравнения с модулями предлагается данный материал.

Уравнения с модулем разделены на группы по способу их решения. К каждой группе дается теоретический материал , необходимый для решения уравнений данной группы.

Даны решения уравнений каждой группы, а к отдельным уравнениям алгоритм их решения, что позволяет учащимся самообучаться.

Этот материал можно применять на уроках при работе по группам и индивидуально как в классе, так и для домашней работы.

Предназначается учащимся стерших классов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Определение модуля

где
и
- некоторые функции.

Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения =, принадлежащие множеству
, затем решить уравнение = на множестве
; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

или

Пример 1.

Решите уравнение
.

Решение .

Исходное уравнение равносильно совокупности систем:

или

или

Ответ : - 3; - 2; 2; 3.

или

Пример 2.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

1)

не удовлетворяет условию
, следовательно, система имеет решение
.

не удовлетворяет условию , следовательно, вторая система имеет решение
.

Ответ :

.

Пример 3.

Решите уравнение

Решение .

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1)

, система не имеет решений.

2)

,
.

Ответ :

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 4.

Решите уравнение
.

Решение .

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

или

то есть совокупности систем

или

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:

или

или

Ответ : 0.

5. Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида (2)

Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Для этого находят сначала все точки, в которых

Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходят от уравнения (2) и совокупности систем, не содержащих знаков модуля.

Пример 5.

Решите уравнение
.

Решение.

1)

2)

3)

Ответ :

Пример 6.

Решите уравнение
.

Решение .

1)


нет решений.

2)

нет решений.

3)

нет решений.

4)

нет решений.

Ответ : корней нет.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

І способ

Раскрыть модуль по определению

ІІ способ

Возведение обеих частей в квадрат

ІІІ способ

Метод разбиения на промежутки

ПРИМЕРЫ

Пример №1

Решение

І способ (по определению )

Ответ: -1; 7.

ІІ способ ( )

Ответ : -1; 7.

Пример №2

Решение

І способ ( по определению )

Ответ : нет решения

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат )

Так как правая часть функция, то

Ответ : нет решения.

Пример №3

Решение

Воспользуемся методом возведения в квадрат обеих частей .

Ответ:

Пример №4

Решение

Используем метод разбиения на промежутки .

Ответ: -2,5; -0,5.

Пример №5

Решение .

Разложим
на линейные множители.

По теореме Виета

Получили

Решим методом разбиения на интервалы

Если
, тогда

Так как
, то на данном промежутке решением является
.

Если
, тогда

Если
, тогда

Так как , то на данном промежутке нет решения.

Если
, тогда

Так как , то на данном промежутке решением является
.

Ответ : ; .

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1.

2.

3.

5.

6.

7.

9.

10.

11.

12.

13.

15.

16.

17. Найдите наименьшее целое значение , удовлетворяющее уравнению
.

18. Найдите все корни уравнения
, удовлетворяющие неравенству
.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

2. Воспользуйтесь методом разбиения на промежутки.

16. . 17.
. 18.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

С МОДУЛЕМ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР.

1. Для каждого значения параметра найдите число корней уравнения
.

Решение . Запишем уравнение в виде
, так как не является корнем уравнения. Количество корней данного уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графика функции
с прямой
. Построим график функции , который состоит из двух частей:

при
;

при

.

Из рисунка видно, что

при
имеет единственную точку пересечения, а значит, единственный корень;

при
имеет две точки пересечения, а значит, исходное уравнение имеет два корня;

при
- одна точка пересечения, а значит, уравнение имеет единственный корень.

Осталось проверить, сколько корней имеет исходное уравнение при
и
.

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид
. Определим количество корней данного уравнения.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с < 0

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Главная » Материалы » Сообщение уравнение содержащие переменную под знаком модуля. Как решать уравнения с модулем